Rèn luyện kỹ năng tư duy

Minh họa/INT

Thân gửi các bài toán bất đẳng thức!

Nếu được ai đó hỏi về phần yếu nhất trong môn Toán là gì, tôi sẽ không ngần ngại mà trả lời ngay rằng đó chính là bạn. Bởi lẽ, muốn “bỏ túi” bạn cần phải có một kĩ năng tư duy cực kỳ sắc bén - thứ mà tôi vẫn còn phải hoàn thiện qua từng ngày.

Không cần phải suy nghĩ sâu xa, chính cái tên đã nói lên đặc điểm gai góc của bạn. “Đẳng thức” là mối quan hệ giữa hai đại lượng, tổng quát hơn là hai biểu thức, khẳng định rằng hai đại lượng hay giá trị đó bằng nhau, tức có cùng giá trị, hay cả hai đều biểu diễn cùng một đối tượng Toán học.

Ví dụ, gọi hai vế của đẳng thức là a và b. Khi đó, đẳng thức giữa a và b được viết là a = b. Và bạn - với chữ “bất” đứng trước từ “đẳng thức”, thể hiện mối quan hệ giữa hai biểu thức hoàn toàn trái ngược với “đẳng thức”. Không phải là mối quan hệ bằng nhau nữa, bạn biểu diễn mối quan hệ không bằng nhau, với các kí hiệu để biểu thị như “>”, “<”, …

Tuy nhiên, nếu có ai cho rằng với phát biểu đơn giản như thế thì cũng đồng nghĩa các bài toán có sự hiện diện của bạn có thể giải quyết trong một nốt nhạc, là họ đã “bé cái nhầm” rồi. Có lẽ với bất kỳ học sinh trung học cơ sở như tôi, bạn, cùng với câu c) của bài toán hình lúc nào cũng là “trùm cuối” - kẻ chống lại việc chúng tôi đạt được điểm tuyệt đối trong các bài thi.

Bởi lẽ, một bài toán bất đẳng thức không bị giới hạn bởi một cách làm duy nhất, mà hoàn toàn có thể có hai, ba thậm chí là nhiều hơn, tùy thuộc vào hướng tiếp cận của mỗi người. Chẳng hạn như trong một số bài, mục tiêu của tôi là cố gắng sử dụng các giả thiết của đề bài, kết hợp cùng với các bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh, chẳng hạn như a2+ b2≥2ab, a2+ b2+c2≥ab+bc+ca, (a+b)(b+c)(c+a)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca),… để biến đổi biểu thức của vế phía bên trái sao cho có thể so sánh được với biểu thức của vế bên phải.

Nhưng trong một số bài toán khác, tôi lại phải biến đổi biểu thức của vế bên phải thay vì biểu thức của vế bên trái, hoặc thậm chí là biến đổi biểu thức của cả hai vế. Đôi khi rơi vào thế bí, một giải pháp mà tôi có thể xét đến chính là cộng hoặc trừ thêm một vài hạng tử phụ để giúp giả thiết có thể đưa về dạng đơn giản hơn, sau đó tiếp tục biến đổi.

Chính vì vậy, trong chương trình toán Trung học Cơ sở, có thể coi bạn là một trong những liều thuốc thử tốt nhất về khả năng tư duy và phán đoán của học sinh. Bởi lẽ, chỉ những ai có thể đưa ra nhận xét cực kỳ sắc bén và đột phá mới có thể chinh phục được bạn.

Bên cạnh đó, bạn còn giúp tôi rèn luyện kỹ năng kiên trì, không bỏ cuộc cho dù ở bất kỳ hoàn cảnh nào. Chính bởi có rất nhiều kiến thức liên quan tới bạn, nên cũng đồng thời có rất nhiều hướng giải khác nhau. Nhưng trong số những hướng giải ấy, chỉ có một số ít là thành công, nên xác suất tôi đi vào con đường cụt trước khi chinh phục được bạn là rất cao.

Minh họa/INT

Thậm chí một số bài toán còn cố tình bày ra hướng đi sai để đánh lừa học sinh đi theo cách làm ấy. Chẳng hạn như tôi đã từng gặp bài toán mà liếc qua tưởng chừng như sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz dạng cộng mẫu để giải quyết. Thế là tôi cứ tưởng bở áp dụng vào, và quả thực mọi thứ ban đầu vận hành rất trơn tru. Chỉ cho tới bước cuối cùng, tôi mới ngã ngửa ra khi biết mình bị lừa: Kết quả của tôi bị ngược dấu (tức là không thể kết luận ra dấu so sánh đối lập so với đề bài mong muốn)!

Dù có tiếc một chút về công sức mình đã bỏ ra, nhưng tôi nhanh chóng tập trung quay lại vạch xuất phát để đi hướng mới. Và sau một khoảng thời gian lần mò, thử nghiệm, cuối cùng tôi cũng tìm được lời giải bằng việc áp dụng bất đẳng thức a5+b5≥ab(a3+b3).

Hay một số bài toán khác của bạn không cần mất công giăng bẫy, mà tấn công trực diện vào tâm lý học sinh bằng cách yêu cầu chứng minh những bất đẳng thức nghe rất rối rắm, loằng ngoằng, chứa nhiều dấu căn, hay các số mũ bậc lớn… Lần đầu tiên gặp những bài toán như vậy, chỉ sau một vài bước phân tích đầu tiên, tôi đã nhanh chóng bỏ cuộc vì nghĩ rằng: “Có cố gắng cũng chẳng phân tích tới đâu được nữa đâu”.

Nhưng khi đọc tới đáp án, tôi mới tẻ ngửa ra bởi trên thực tế tôi vẫn đang đi đúng hướng, và phải tới 80% lời giải của bài toán ấy rất “xấu” - có rất nhiều hạng tử căn bậc 3,4 hay cao hơn… Sau bài toán ấy, tôi đã rút ra được kinh nghiệm cực kỳ quý giá: Đừng bao giờ coi thường các hướng đi chông gai, gồ ghề, bởi chính chúng đôi khi lại là con đường duy nhất dẫn đến lời giải chính xác!

Dù đã được tiếp xúc với bạn thường xuyên kể từ năm học lớp 8, nhưng hiện tại tôi vẫn tự thấy bản thân còn yếu trong mảng bất đẳng thức này. Chính vì vậy, năm học lớp 9 này, tôi sẽ quyết tâm luyện tập chăm chỉ hơn nữa, với hi vọng có thể cải thiện hiệu suất giải các bài toán của bạn. Bạn nhớ chờ đợi tôi nhé!

Tạm biệt bạn!

Lê Tuấn Kiệt (Lớp 9A - Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam