Cuộc chiến Toán học vĩ đại giữa ba thiên tài

Ảnh: Wired.

Hầu hết độc giả có thể ngạc nhiên khi biết rằng, chỉ khoảng một thế kỷ trước, một số thiên tài toán học vĩ đại nhất thời đó đã tranh luận gay gắt về sự tồn tại của các con số.

Ba nhà toán học Georg Cantor, Bertrand Russell và L.E.J. Brouwer. Ảnh được tạo bởi OpenAI.

Vào cuối thế kỷ 19, Georg Cantor đã mang đến một mệnh đề đáng kinh ngạc rằng số vô hạn tuyệt đối không chỉ có một loại. Ký hiệu vô hạn (∞) hiện là tập hợp các số thực, mặc dù tương đối nhỏ, nhưng chưa phải là nhỏ nhất.

Khi thiên tài tranh luận

Một số thực theo truyền thống được mô tả bằng một chuỗi các chữ số thập phân. Nếu là số hữu tỉ, chuỗi thập phân có thể kết thúc, ví dụ 0,12, hoặc có thể tuân theo một quy tắc lặp lại đơn giản nào đó. Nếu là số vô tỷ, như số pi, thì phần thập phân không lặp lại nhưng có thể tính toán bằng một chương trình máy tính đơn giản.

Trong trường hợp phức tạp hơn, nhà toán học George Cantor đã đưa ra định lý cho thấy tồn tại nhiều kích cỡ vô hạn khác nhau, trong đó có những tập hợp vô hạn có thể đếm được và những tập hợp vô hạn không thể đếm được. Nói đơn giản là có những con số con người chưa thể mô tả được và thậm chí không đưa ra được ví dụ.

Định lý mơ hồ đó khiến các nhà toán học khó chịu. Một trong những nhà tiên phong trong cuộc chiến tìm ra dấu chân của mọi con số là L.E.J. Brouwer. Ông Brouwer và những "người theo chủ nghĩa trực giác" chia sẻ quan điểm rằng điều duy nhất có thực trong toán học là điều con người có thể mô tả.

Những người phản đối ông, dẫn đầu là nhà toán học người Đức David Hilbert, cho rằng một quan điểm hạn chế như vậy bỏ qua hầu hết điểm trên trục số. Hiện tại tập hợp số thực (R) gồm tất cả con số được biểu diễn trên trục số thực.

Cuộc tranh luận về sự vô hạn của các con số đã dẫn đến một câu hỏi lớn hơn: Toán học nên được phép mô tả điều gì?

Hermann Weyl, trong một bài báo năm 1921, đã gọi việc trả lời cho câu hỏi này là xác định vùng biên giới đang tranh chấp và cảnh báo rằng mặc dù dường như cách xa những vấn đề cốt lõi trong toán học, câu hỏi khó giải này đe dọa sự ổn định của toàn bộ hệ thống.

“Chính trị và xã hội hóa” thiên tài toán học

Trong The Great Math War, toán học được đặt vào bối cảnh của những thiên tài làm toán và cuộc sống của họ bên ngoài nghề nghiệp chính, điều hầu hết sách toán phổ biến không làm được.

Cuốn sách ra mắt ngày 4/11. Ảnh: Amazon.

Theo lời kể của Bardi, việc các nhà toán học luôn lo lắng về những cấu trúc toán học tưởng chừng ổn định, đã diễn ra nhiều thế kỷ nay. Và đó là điều hoàn toàn tự nhiên khi họ thấy bối cảnh chính trị họ đang sống cũng có những thay đổi nghiêng trời lệch đất.

Toán học gắn với con người, và suy nghĩ cho rằng lập luận toán học hoàn toàn tách biệt khỏi phần còn lại của cuộc sống là ảo tưởng. Thế giới toán học cũng bị chính trị hóa, khi các nhà toán học Đức đã bị loại khỏi các hội nghị quốc tế, dù đã rất lâu sau khi các cuộc chiến thế kỷ trước kết thúc. Điều này đã dấy lên sự phẫn nộ và phản ứng gay gắt của họ đối với các lý thuyết của nhau.

Bertrand Russell, người đã đưa ra một số nghịch lý đe dọa cấu trúc cơ bản của toán học, được khắc họa đặc biệt xuất sắc về cả yếu tố đời sống chính trị và xã hội. Russell bị giằng xé giữa nghiên cứu hàn lâm, công việc của ông là một nhà hoạt động phản chiến và những mối tình tay ba trong đời sống riêng. Đáng chú ý là về Ottoline Morrell và Ludwig Wittgenstein, những người có mối quan hệ sóng gió với Russell chỉ xoay quanh toán học. Với bất kỳ ai từng ngưỡng mộ lối viết triết học sâu sắc, điềm tĩnh của Russell, thật đáng kinh ngạc khi thấy cuộc sống cá nhân của ông lại đầy rẫy bê bối.

Hay như Cantor, người rất thất vọng khi nhiều nhà toán học bác bỏ định lý của ông, nhưng luôn giữ niềm tin rằng ý tưởng của mình đến từ “trí tuệ thần thánh”. Niềm tin đó khiến tâm lý của ông càng trở nên bất ổn, đặc biệt là vào lúc cuối đời. Ông dường như hoang tưởng rằng những người cùng thời đang tìm cách phá hoại ông. Hoặc họ là một lũ phản động đâm sau lưng, không biết gì về công trình của ông. Hoặc họ ghen tị với thiên tài của ông và ích kỷ khinh miệt ông vì điều đó.

Trong khi khá thú vị để thấy rằng các nhà toán học thiên tài cũng chỉ là những con người bình thường thì liệu có cần thiết phải xem xét lại một cuộc tranh cãi đã kéo dài cả thế kỷ và ít ảnh hưởng đến hoạt động hàng ngày của các nhà toán học đương đại không?

Theo giáo sư Jordan Ellenberg thì câu trả lời là có. Những phát triển hiện tại trong ứng dụng học máy một lần nữa đòi hỏi con người phải suy nghĩ kỹ lưỡng về bản chất của toán học.

Minh Hoa